Question

給定整數(shù)n≥2，設(shè)M₀（x₀，y₀）是拋物線y²=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（

x

m 0

，y

m 0

）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點．

Answer 1

分析：先求拋物線y²=nx-1與直線y=x的交點，證明n≥2，再設(shè)（

x

m 0

，

y

m 0

）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點，證明k=

x

m 0

+

1

x m 0

，滿足k≥2，即可證得結(jié)論．

解答：證明：y²=nx-1與y=x聯(lián)立，可得x²-nx+1=0，∴x=

n± n2-4

2

∴x₀=y₀=

n± n2-4

2

．
∴x₀+

1

x0

=n≥2．…（5分）
若（

x

m 0

，

y

m 0

）為拋物線y²=kx-1與直線y=x的一個交點，則k=

x

m 0

+

1

x m 0

．…（10分）
記k_m=

x

m 0

+

1

x m 0

，由于k₁=n是整數(shù)，k₂=

x

2 0

+

1

x 2 0

=（x₀+

1

x0

）²-2=n²-2也是整數(shù)，
且k_m+1=k_m（x₀+

1

x0

）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①
所以對于一切正整數(shù)m，k_m=

x

m 0

+

1

x m 0

是正整數(shù)，且k_m≥2現(xiàn)在對于任意正整數(shù)m，
取k=

x

m 0

+

1

x m 0

，滿足k≥2，且使得y²=kx-1與y=x的交點為（

x

m 0

，

y

m 0

）．…（12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．