Question

若奇函數(shù)f（x）在[2，4]上為增函數(shù)，且有最小值0，則它在[-4，-2]上（　�。�

A．是減函數(shù)，有最小值0

B．是增函數(shù)，有最小值0

C．是減函數(shù)，有最大值0

D．是增函數(shù)，有最大值0

Answer 1

分析：根據(jù)題意得任意的x∈[2，4]，有f（x）≥f（2）恒成立，從而對x∈[-4，-2]都有f（-x）≥f（2）恒成立，由函數(shù)為奇函數(shù)得對任意的x∈[-4，-2]有f（x）≤f（-2）=0恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[-4，-2]上也是增函數(shù)
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，有最小值0，
∴當2≤x≤4時，[f（x）]_min=f（2）=0，
即任意的x∈[2，4]，f（x）≥f（2）恒成立．
又∵x∈[-4，-2]時，-x∈[2，4]，得f（-x）≥f（2）恒成立，
∴根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得-f（x）≥f（2）即f（x）≤f（-2），
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴對任意的x∈[-4，-2]，f（x）≤f（-2）=0恒成立，
因此，f（x）在區(qū)間[-4，-2]上為增函數(shù)且有最大值f（-2）=0．
故選：D

點評：本題給出函數(shù)在某個區(qū)間上的奇偶性與單調(diào)性，求它在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的單調(diào)性與最值．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關(guān)系等知識，屬于中檔題．