Question

定義：若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，，均有：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx+

1

2

x2在區(qū)間（0，+∞）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由所給的定義，將：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立變?yōu)?span id="xektp5r" class="MathJye">

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k，此意義為k小于等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的最小值．由此關(guān)系求k

解答：解：由題意：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立變?yōu)?span id="neslvpd" class="MathJye">

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k，
∵函數(shù)f(x)=lnx+

1

2

x2在區(qū)間（0，+∞）滿足利普希茨條件
∴f′(x)=

1

x

+x
又x∈（0，+∞）
故f′(x)=

1

x

+x≥2在區(qū)間（0，+∞）恒成立
故常數(shù)k的最大值為2
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用，求解本題的關(guān)鍵是正確理解定義且能對(duì)

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)榍髮?dǎo)數(shù)的最小值來求參數(shù)的取值范圍，本題易因?yàn)閷?duì)導(dǎo)數(shù)的意義與本題中所給的定義不理解而導(dǎo)致錯(cuò)誤，解題時(shí)要注意積累這方面的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)．