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        1. 如圖,菱形ABCD的邊長為4,∠BAD=60°,AC∪BD=O.將菱形ABCD沿對角線AC折起,得到三棱錐B-ACD,點M是棱BC的中點,DM=2
          2

          (1)求證:OM∥平面ABD;
          (2)求證:平面DOM⊥平面ABC;
          (3)求三棱錐B-DOM的體積.
          分析:(1)利用三角形中位線定理,證出OM∥AB,結(jié)合線面平行判定定理,即可證出OM∥平面ABD.
          (2)根據(jù)題中數(shù)據(jù),算出DO=
          1
          2
          BD=2,OM=
          1
          2
          AB=2,從而得到OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.結(jié)合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理,證出OD⊥平面ABC,從而證出平面DOM⊥平面ABC.
          (3)由(2)得到OD為三棱錐D-BOM的高.算出△BOM的面積,利用錐體體積公式算出三棱錐D-BOM的體積,即可得到三棱錐B-DOM的體積.
          解答:解:(1)∵O為AC的中點,M為BC的中點,∴OM∥AB.
          又∵OM?平面ABD,AB?平面ABD,
          ∴OM∥平面ABD.
          (2)∵在菱形ABCD中,OD⊥AC,∴在三棱錐B-ACD中,OD⊥AC.
          在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得BD=4.
          ∵O為BD的中點,∴DO=
          1
          2
          BD=2.
          ∵O為AC的中點,M為BC的中點,∴OM=
          1
          2
          AB=2.
          因此,OD2+OM2=8=DM2,可得OD⊥OM.
          ∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線,∴OD⊥平面ABC.
          ∵OD?平面DOM,∴平面DOM⊥平面ABC.
          (3)由(2)得,OD⊥平面BOM,所以OD是三棱錐D-BOM的高.
          由OD=2,S△BOM=
          1
          2
          ×OB×BM×sin60°=
          3

          所以VB-DOM=VD-BOM=
          1
          3
          S△BOM=×DO=
          1
          3
          ×
          3
          ×2
          =
          2
          3
          3
          點評:本題給出平面折疊問題,求證線面平行、面面垂直并求三棱錐的體積,著重考查了線面平行判定定理、線面垂直與面面垂直的判定和錐體的體積求法等知識,屬于中檔題.
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          AM
          AN
          的最大值為
          9
          9

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