Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則

AM

•

AN

的最大值為

9

．

Answer 1

分析：先以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出其它各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

AM

•

AN

，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可．

解答：解：如圖，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由于菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A=60°，M為DC的中點(diǎn)，故點(diǎn)A（0，0），則B（2，0），C（3，

3

），D（1，

3

），M（2，

3

）．
設(shè)N（x，y），N為菱形內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域即為菱形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域．
因?yàn)?span id="44it515" class="MathJye">

AM

=(2，

3

)，

AN

=（x，y），則

AM

•

AN

=2x+

3

y，
令z=2x+

3

y，則y=-

2 3

3

x+

3

3

z，
由圖象可得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+

3

y 過(guò)點(diǎn)C（3，

3

）時(shí)，z=2x+

3

y取得最大值，
此時(shí)z=2×3+

3

×

3

=9．
故答案為9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想的考查，屬于中檔題．