Question

已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)是，又點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程;

（2）已知直線的斜率為，若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)可設(shè)橢圓的方程，然后將代入可求解得，從而可確定橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程及，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得到，先由確定的取值范圍，然后根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，從而由公式計(jì)算出，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出點(diǎn)到的距離為，最后得到，利用基本不等式可得面積的最大值.

試題解析：（1）由已知橢圓的焦點(diǎn)為，故設(shè)橢圓方程為 2分

將點(diǎn)代入方程得，整理得 4分

解得或（舍），故所求橢圓方程為 6分

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè) 7分

代入橢圓方程并化簡得 9分

由，可得①

由 11分

故

又點(diǎn)到的距離為 13分

故

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)（滿足①式）

所以面積的最大值為 15分.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線的綜合問題；3.基本不等式.