Question

△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B（0，-2）和C（0，2），頂點(diǎn)A滿(mǎn)足sinB+sinC=

3

2

sinA．
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在（1）軌跡上，求μ=2x-y的最值．

Answer 1

分析：（1）頂點(diǎn)A滿(mǎn)足sinB+sinC=

3

2

sinA，由正弦定理可得A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)短軸長(zhǎng)a=3，半焦距為c=2
，從而可求頂點(diǎn)A的軌跡方程；
（2）當(dāng)直線μ=2x-y平移到l₁與橢圓相切時(shí)，取最小，當(dāng)直線μ=2x-y平移到l₂與橢圓相切時(shí)，取最大．

解答：解：（1）由正弦定理知2R|AC|+2R|AB|=

3

2

|BC|•2R
∴|AC|+|AB|=

3

2

|BC|=6＞|BC|=4
∴A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)短軸長(zhǎng)a=3，半焦距為c=2
∴A的軌跡方程為

y2

9

+

x2

5

=1(x≠0)…（6分）
（2）如圖，當(dāng)直線μ=2x-y平移到l₁與橢圓相切時(shí)，取最小，當(dāng)直線μ=2x-y平移到l₂與橢圓相切時(shí)，取最大，

由 y2 9 + x2 5 =1 μ=2x-y ，消去y 得29x2-20μx+5μ2-45=0 則△=400μ2-4×29×(5μ2-45)≥0 ∴μ2≤29 ∴- 29 ≤μ≤ 29

當(dāng)x=0時(shí)，y=±3，此時(shí)μ=±3不為最值
∴μmax=

29

，μmin=-

29

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓定義的應(yīng)用及待定系數(shù)法求橢圓的方程，（2）問(wèn)巧妙地將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化了解題．