Question

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過點(diǎn)，并說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)不在以線段為直徑的圓上．

解析試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知橢圓的離心率為,短軸端點(diǎn)分別為，可設(shè)橢圓方程為，由，可得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由于,是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點(diǎn)，可設(shè)則，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則，即，即，因此可寫出直線的方程為，令，得，寫出直線的方程為，令，求得.寫出向量的坐標(biāo)，看是否等于０，即可判斷出．
（1）由已知可設(shè)橢圓的方程為：.                    1分
由，可得,                                  2分
解得,                                                   3分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                               4分
（2）法一：
設(shè)且，則.                             5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/3/wt0jm.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以直線的方程為.                             6分
令，得，所以.                         7分
同理直線的方程為，求得.              8分
                               9分
所以,                         10分
由在橢圓：