【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形，側(cè)棱
底面，
，點
是
的中點.
求證：
平面
；
若直線
與平面
所成角為
，求二面角
的大小.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）連接
交
于
，連接
，利用線面平行的判定定理，即可證得
平面
；
以
為坐標(biāo)原點，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
，分別求得平面
和平面
的一個法向量
和
，利用向量的夾角公式，即可求解.
（1）連接交于，連接，
由題意可知，
，
，
又
在平面外，
平面，所以平面.
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系
，設(shè)，，則
，
，
，
，
，
，
設(shè)平面的法向量
，
由
，得
，取
，
又由直線與平面所成的角為
，
得
，解得
，
同理可得平面的法向量
，
由向量的夾角公式，可得
，
又因為二面角
為銳二面角，所以二面角的大小為.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目,若一名學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.
某學(xué)校為了了解高一年級420名學(xué)生選考科目的意向,隨機選取30名學(xué)生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男生 | 選考方案確定的有8人 | 8 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1 |
選考方案待確定的有6人 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
女生 | 選考方案確定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
選考方案待確定的有6人 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
（Ⅰ）估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？
（Ⅱ）假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史科目的概率;
（Ⅲ）從選考方案確定的8名男生隨機選出2名,設(shè)隨機變量兩名男生選考方案相同時
，兩名男生選考方案不同時
，求
的分布列及數(shù)學(xué)期望
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】春節(jié)過后，某市教育局從全市高中生中抽去了100人，調(diào)查了他們的壓歲錢收入情況，按照金額（單位：百元）分成了以下幾組：
，
，
，
，
，
.統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：
該市高中生壓歲錢收入
可以認(rèn)為服從正態(tài)分布
，用樣本平均數(shù)
（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值）作為
的估計值.
（1）求樣本平均數(shù)；
（2）求
；
（3）某文化公司贊助了市教育局的這次社會調(diào)查活動，并針對該市的高中生制定了贈送“讀書卡”的活動，贈送方式為：壓歲錢低于的獲贈兩次讀書卡，壓歲錢不低于的獲贈一次讀書卡.已知每次贈送的讀書卡張數(shù)及對應(yīng)的概率如下表所示：
現(xiàn)從該市高中生中隨機抽取一人，記
（單位：張）為該名高中生獲贈的讀書卡的張數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若
，則
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我國有一道古典數(shù)學(xué)名著——兩鼠穿墻：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻（連線與墻面垂直），大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，那么兩鼠第幾天能見面.”假設(shè)墻厚16尺，如圖是源于該題思想的一個程序框圖，則輸出的
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
，圓心為，直線
的方程為
，點
在直線上，過點作圓的切線
，
，切點分別為
，
．
（1）若
，試求點的坐標(biāo)；
（2）若點的坐標(biāo)為
，過作直線與圓交于
兩點，當(dāng)
時，求直線
的方程；
（3）求證：經(jīng)過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標(biāo)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】有一名高二學(xué)生盼望2020年進入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí)，假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄取：①2020年2月通過考試進入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊（集訓(xùn)隊從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達到2020年6月高考重點分?jǐn)?shù)線，③2020年6月高考達到該校錄取分?jǐn)?shù)線（該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點線），該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表
省數(shù)學(xué)競賽一等獎 | 自主招生通過 | 高考達重點線 | 高考達該校分?jǐn)?shù)線 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎，則該學(xué)生估計進入國家集訓(xùn)隊的概率是0.2.若進入國家集訓(xùn)隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄取：前面已經(jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達重點線才能錄�。�
（Ⅰ）求該學(xué)生參加自主招生考試的概率；
（Ⅱ）求該學(xué)生參加考試的次數(shù)
的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）求該學(xué)生被該校錄取的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大�。�
（2）若△ABC的面積S=5
，b=5，求sinBsinC的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)常數(shù)
．在平面直角坐標(biāo)系
中，已知點
，直線
：
，曲線
：
．與
軸交于點
、與交于點
．
、
分別是曲線與線段
上的動點．
（1）用
表示點到點
距離；
（2）設(shè)
，
，線段
的中點在直線
，求
的面積；
（3）設(shè)
，是否存在以、
為鄰邊的矩形
，使得點
在上？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，
，
（I）證明：平面
平面
；
（II）若
，
三棱錐
的體積為
，求該三棱錐的側(cè)面積.
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