Question

已知f （x）=2cos² x+2

3

sin xcos x+a （a為常數(shù)）．
（1）求f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f （x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上的最大值與最小值之和為3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為一個(gè)角一個(gè)函數(shù)的形式，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范圍寫出區(qū)間形式即得到f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

6

]求出整體角的范利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，根據(jù)題意列出方程進(jìn)一步求出a的范圍．

解答：解：（1）f （x）=2cos²x+2

3

sin xcosx+a
=2cos²x-1+2

3

sin xcosx+a+1
=2cos2x+

3

sin 2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）     （6分）
（2）因?yàn)閤∈[-

π

6

，

π

6

]
所以2x+

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
所以-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
所以a≤2sin（2x+

π

6

）≤a+3，
∴f （x）_min+f （x）_max=a+a+3=3，
∴a=0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題應(yīng)該先根據(jù)三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)為只含一個(gè)角一個(gè)函數(shù)名的形式，然后利用整體角處理，屬于中檔題．