Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形， ， ， 平面， ， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合角的關(guān)系可得， ，由線面垂直的性質(zhì)可得，故平面， .

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可知兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，計算可得平面的一個法向量為，而是平面的一個法向量，據(jù)此計算可得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）證明：因為四邊形是等腰梯形， ， .所以.

又，所以，因此， ， ，

平面， ，所以， ，

所以平面；所以.

（2）由（1）知， ，同理，

又平面，因此兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立如圖的空間直角坐標系，

不妨設，則， ， ， ，因此， .

設平面的一個法向量為，則， ，∴，

所以，取，則，

由于是平面的一個法向量，

則， ，

所以二面角的余弦值為.