Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）． （Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，|PM|=|PN|．求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，設(shè)拋物線C的方程為y2=ax（a≠0）．

由拋物線C經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），

得a=4，

所以拋物線C的方程為y2=4x．

（Ⅱ）因?yàn)閨PM|=|PN|，

所以∠PMN=∠PNM，

所以∠1=∠2，

所以直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，

所以kPA+kPB=0．

依題意，直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的方程為：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），

將其代入拋物線C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．

設(shè)A（x1，y1），則x1= ，y1= ﹣2，

所以A（ ， ﹣2）．

以﹣k替換點(diǎn)A坐標(biāo)中的k，得B（ ，﹣ ﹣2．

所以 kAB= =﹣1，

所以直線AB的斜率為﹣1．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)拋物線C經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），求拋物線C的方程；（Ⅱ）由題意，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kPA+kPB=0，求出A，B的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．