Question

【題目】已知數(shù)（其中）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）求函數(shù)的反函數(shù)

（3）若兩個函數(shù)與在區(qū)間上恒滿足，則函數(shù)與在閉區(qū)間上是分離的．試判斷的反函數(shù)與在閉區(qū)間上是否分離？若分離，求出實數(shù)的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，然后利用定義可判斷出函數(shù)的奇偶性；

（2）由（1）得，將兩個等式化為指數(shù)式，可解出，即可得出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的值域，作為函數(shù)的定義域；

（3）根據(jù)函數(shù)與在閉區(qū)間上分離得出不等式在區(qū)間上恒成立，令，得出，利用函數(shù)在區(qū)間上的最小值可解出實數(shù)的取值范圍.

（1）對任意的，，則對任意的恒成立，

則函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，

又，

，，

因此，函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）設(shè)，當時，，此時，

當時，，則，

所以，函數(shù)的值域為.

由（1）可得，

將上述兩個等式化為指數(shù)式得，解得.

因此，；

（3）假設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上分離，則，

即，整理得，即在區(qū)間上恒成立，

令，則，設(shè)，

，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，由題意得，

即，，解得，

因此，實數(shù)的取值范圍是.