Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x³+ax²-9x-1(a＜0).若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行,求:

(1)a的值;

(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解:(1)因f(x)=x³+ax²-9x-1,所以f′(x)=3x²+2ax-9=3(x+)²-9-,即當(dāng)x=-時,f′(x)取得最小值-9-.

因斜率最小的切線與12x+y=6平行,即該切線的斜率為-12,

所以-9-=-12,即a²=9.

解得a=±3,由題設(shè)a＜0,所以a=-3.

(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x³-3x²-9x-1,

f′(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1),

令f′(x)=0,解得x₁=-1,x₂=3.

當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f′(x)＞0,故f(x)在(-∞,-1)上為增函數(shù);

當(dāng)x∈(-1,3)時,f′(x)＜0,故f(x)在(-1,3)上為減函數(shù);

當(dāng)x∈(3,+∞)時,f′(x)＞0,故f(x)在(3,+∞)上為增函數(shù).

由此可見,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(3,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3).