Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-

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2

x2+6x-a，
（1）對于任意實(shí)數(shù)x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）_min≥m成立即可．
（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實(shí)根，只需求出函數(shù)的極大值小于零，或求出函數(shù)的極小值大于零即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
因?yàn)閤∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x²-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得m≤-

3

4

，即m的最大值為-

3

4

（2）因?yàn)楫?dāng)x＜1時，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0；
所以當(dāng)x=1時，f（x）取極大值f(1)=

5

2

-a；
當(dāng)x=2時，f（x）取極小值f（2）=2-a；
故當(dāng)f（2）＞0或f（1）＜0時，
方程f（x）=0僅有一個實(shí)根、解得a＜2或a＞

5

2

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．