Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，S_n為前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足a₃，2a₅，a₁₂成等差數(shù)列，S₁₀=60．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）試求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用通項(xiàng)公式a_n≥0，即可得出此數(shù)列從哪一項(xiàng)開(kāi)始大于0，進(jìn)而即可去掉絕對(duì)值符號(hào)，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵滿(mǎn)足a₃，2a₅，a₁₂成等差數(shù)列，
∴4a₅=a₃+a₁₂，
又S₁₀=60．
∴

4(a1+4d)=2a1+13d 10a1+ 10×9 2 d=60

，解得

a1=-3 d=2

．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-3+（n-1）×2=2n-5．
前n項(xiàng)和Sn=-3n+

n(n-1)

2

×2=n²-4n．
（2）由a_n=2n-5≥0，解得n≥

5

2

．
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，a_n＜0；
當(dāng)n≥3時(shí)，a₃＞0．
∴當(dāng)n=1時(shí)，|a₁|=5-2×1=3；
當(dāng)n=2時(shí)，|a₁|+|a₂|=5-2+5-2×2=4；
當(dāng)n≥3時(shí)，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=S_n-2（a₁+a₂）=n²-4n-2（-3-1）=n²-4n+8．
綜上：當(dāng)n=1時(shí)，|a₁|=3；
當(dāng)n=2時(shí)，|a₁|+|a₂|=4；
當(dāng)n≥3時(shí)，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=n²-4n+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式及含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，分類(lèi)討論是解決含絕對(duì)值符號(hào)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．