Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax³+bx+2^x在[0，1]上的最大值為4，則f（x）在[-1，0]上的最小值為（　　）

• A、-

  3

  2

• B、

  3

  2

• C、-2
• D、2

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），再分別判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]和[-1，0]上的單調(diào)性，從而求出最大值（含a，b的式子），求出最小值（含a，b的式子），最后將a+b整體代入即得結(jié)果．

解答：解：因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax³+bx+2^x，
所以導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3ax²+b+2^xln2，
因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，
所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
所以f（1）最大且為a+b+2=4⇒a+b=2①；
又當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，3ax²≥0，2^xln2＞0，
所以f'（x）＞0，
即f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
所以f（-1）最小且為-（a+b）+

1

2

②，
將①代入②得f（-1）=-2+

1

2

=-

3

2

．
故選A

點(diǎn)評：本題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明了函數(shù)的單調(diào)性，求出了最大值和最小值，這是求函數(shù)最值的一個(gè)重要方法--導(dǎo)數(shù)法，有時(shí)也可根據(jù)同一區(qū)間上增函數(shù)加增函數(shù)還是增函數(shù)，減函數(shù)加減函數(shù)還是減函數(shù)這一性質(zhì)．本題屬于基礎(chǔ)題．