Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

，x＞0，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，知a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立．由當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

≤1，能求出a的取值范圍．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

；0＜a＜

1

2

時(shí)，∵對(duì)于x∈[2，

1

a

)，有f′（x）＜0；對(duì)于x∈(

1

a

，+∞)有f′（x）＞0．故f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．由此能求出f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，
∴f′(x)=

ax-1

ax2

，x＞0．…（2分）
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立．
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．…（4分）
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，…（5分）
當(dāng)

1

a

≤2時(shí)，即a≥

1

2

時(shí)，
∵f′（x）＞0在[2，+∞）上恒成立，
這時(shí)f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．…（7分）
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，∵對(duì)于x∈[2，

1

a

)，有f′（x）＜0；對(duì)于x∈(

1

a

，+∞)有f′（x）＞0．…（9分）
∴f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．…（11分）
綜上，f（x）在[2，+∞）上的最小值為：
①當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，f(x)min=f(2)=ln2-

1

2a

．
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f(x)min=f(

1

a

)=ln

1

a

+1-

1

a

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求a的取值范圍和求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．