Question

（2013•房山區(qū)二模）小明從家到學校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

4

5

．
（Ⅰ）若小明上學走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若小明上學走路線2，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)越少為越好”的標準，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）走路線1最多遇到1次紅燈為事件A，分為兩種情況，一種是3次都沒有遇到紅燈，一種是只有一次遇到紅燈，可知A～B(3，

1

2

)，計算出即可；
（Ⅱ）由題意可得，X可能取值為0，1，2．利用獨立事件的概率計算公式和互斥事件的概率計算公式即可得出概率，再利用數(shù)學期望計算公式即可；
（Ⅲ）設選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為ξ，則ξ～B（3，

1

2

），利用公式計算出Eξ與EX比較即可．

解答：解：（Ⅰ）設走路線1最多遇到1次紅燈為事件A，則
P（A）=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

．
（Ⅱ）由題意可得，X可能取值為0，1，2．
∴P（X=0）=(1-

3

4

)×(1-

4

5

)=

1

20

，
P（X=1）=

3

4

×(1-

4

5

)+(1-

3

4

)×

4

5

=

7

20

，
P（X=2）=

3

4

×

4

5

=

3

5

．
∴隨機變量X的分布列為
遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學期望EX=0×

1

20

+1×

7

20

+2×

3

5

=

31

20

．
（Ⅲ）設選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為ξ，則ξ～B（3，

1

2

），
∴Eξ=3×

1

2

=

3

2

．
∵Eξ＜EX，∴選擇路線1上學最好．

點評：熟練掌握獨立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、數(shù)學期望計算公式、分類討論思想方法、二項分布概率計算公式是解題的關(guān)鍵．