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        1. 已知數(shù)列{an}與{bn}滿足:bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=
          3+(-1)n
          2
          ,n∈N*,且a1=2,a2=4.
          (Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
          (Ⅱ)設(shè)cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,證明:{cn}是等比數(shù)列;
          (Ⅲ)設(shè)Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,證明:
          4n
          k=1
          Sk
          ak
          7
          6
          (n∈N*)
          分析:(Ⅰ)要求a3,a4,a5的值;通過(guò)賦值方法,利用已知條件化簡(jiǎn)求解即可.
          (Ⅱ)化簡(jiǎn)出a2n-1+a2n+1,a2n+1+a2n+3的關(guān)系,即:cn+1與cn的關(guān)系,從而證明{cn}是等比數(shù)列;就是利用(Ⅰ)的bn=
          1,n為奇數(shù)
          2,n為偶數(shù)
          ,用2n-1,2n,2n+1,替換bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=
          3+(-1)n
          2
          中的n,化簡(jiǎn)出只含“an”的關(guān)系式,就是a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③然后推出a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),得到cn+1=-cn(n∈N*),從而證明{cn}是等比數(shù)列;
          (Ⅲ)先研究通項(xiàng)公式a2k,推出Sk的表達(dá)式,然后計(jì)算
          Sk
          ak
          ,結(jié)合證明的表達(dá)式,利用表達(dá)式的特征,通過(guò)裂項(xiàng)法以及放縮法證明即可;就是:根據(jù)a2k-1+a2k+1=(-1)k,對(duì)任意k∈N*且k≥2,列出n個(gè)表達(dá)式,利用累加法求出a2k=(-1)k+1(k+3).化簡(jiǎn)
          S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,k∈N*,
          4n
          k=1
          Sk
          ak
          =
          n
          m=1
          (
          S4m-3
          a4m-3
          +
          S4m-2
          a4m-2
          +
          S4m-1
          a4m-1
          +
          S4m
          a4m
          )
          ,通過(guò)裂項(xiàng)法以及放縮法證明:
          4n
          k=1
          Sk
          ak
          7
          6
          (n∈N*)
          解答:20、滿分14分.
          (I)解:由bn=
          3+(-1)n
          2
          ,n∈N*
          ,
          可得bn=
          1,n為奇數(shù)
          2,n為偶數(shù)

          又bnan+an+1+bn+1an+2=0,
          當(dāng)n=1時(shí),a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;
          當(dāng)n=2時(shí),2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;
          當(dāng)n=3時(shí),a3+a4+2a5=0,可得a5=4.

          (II)證明:對(duì)任意n∈N*,a2n-1+a2n+2a2n+1=0,①2a2n+a2n+1+a2n+2=0,②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,③
          ②-③,得a2n=a2n+3.④
          將④代入①,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1
          即cn+1=-cn(n∈N*
          又c1=a1+a3=-1,故cn≠0,
          因此
          cn+1
          cn
          =-1,所以{cn}
          是等比數(shù)列.
          (III)證明:由(II)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,
          于是,對(duì)任意k∈N*且k≥2,有
          a1+a3=-1,
          -(a3+a5)=-1,
          a5+a7=-1,
          ?
          (-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.

          將以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),
          即a2k-1=(-1)k+1(k+1),
          此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得a2k=(-1)k+1(k+3).
          從而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3.
          所以,對(duì)任意n∈N*,n≥2,
          4n
          k=1
          Sk
          ak
          =
          n
          m=1
          (
          S4m-3
          a4m-3
          +
          S4m-2
          a4m-2
          +
          S4m-1
          a4m-1
          +
          S4m
          a4m
          )
          =
          n
          m=1
          (
          2m+2
          2m
          -
          2m-1
          2m+2
          -
          2m+3
          2m+1
          +
          2m
          2m+3
          )
          =
          n
          m=1
          (
          2
          2m(2m+1)
          +
          3
          (2m+2)(2m+2)
          )
          =
          2
          2×3
          +
          n
          m=2
          5
          2m(2m+1)
          +
          3
          (2n+2)(2n+3)
          1
          3
          +
          n
          m=2
          5
          (2m-1)(2m+1)
          +
          3
          (2n+2)(2n+3)
          =
          1
          3
          +
          5
          2
          •[(
          1
          3
          -
          1
          5
          )+(
          1
          5
          -
          1
          7
          )+…+(
          1
          2n-1
          -
          1
          2n+1
          )]+
          3
          (2n+2)(2n+3)
          =
          1
          3
          +
          5
          6
          -
          5
          2
          1
          2n+1
          +
          3
          (2n+2)(2n+3)
          7
          6
          .

          對(duì)于n=1,不等式顯然成立.
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法.賦值法是求數(shù)列前幾項(xiàng)的常用方法,注意n=1的驗(yàn)證,裂項(xiàng)法和放縮法的應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,已知S100=41,T100=49,記Cn=anTn+bnSn-anbn(n∈N*),那么數(shù)列{Cn}的前100項(xiàng)和
          100i=1
          Ci
          =
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn=
          3+(-1)n-1
          2
          ,n∈N*,且a1=2.
          (Ⅰ)求a2,a3的值
          (Ⅱ)設(shè)cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,證明{cn}是等比數(shù)列
          (Ⅲ)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明
          S1
          a1
          +
          S2
          a2
          +…+
          S2n-1
          a2n-1
          +
          S2n
          a2n
          ≤n-
          1
          3
          (n∈N*

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}與{bn}有如下關(guān)系:a1=2,an+1=
          1
          2
          anbn=
          an+1
          an-1
          則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}與{bn}有如下關(guān)系:a1=2,an+1=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          ),bn=
          an+1
          an-1

          (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
          (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,當(dāng)n≥2時(shí),求證:Sn<n+
          4
          3

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