Question

【題目】在正四棱柱中，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

建立如圖所示空間直角坐標系，（1）求出平面的法向量，利用證明即可；

（2）利用即可證明；（3）設點的坐標為(1，1，)，由線面角公式可求出，即可利用向量的模求的長.

如圖建立空間直角坐標系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

（1）證明：設平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因為，所以，

所以平面.

（2）證明：由（1）可知(1，-1，1)，

(-1，1，-1)，，所以，

所以平面.

（3）設點的坐標為(1，1，)，

(0，1，)，

設直線與平面所成角為，則

，

解得，

所以點的坐標為(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的長為.