Question

在△ABC中，sinB+cosB=

2

，AC=2

5

，cosC=

2 5

5

．
（1）求sinA；
（2）設(shè)D為邊BC上不與端點B、C重合的一點，求AD的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由sinB+cosB=

2

 求出B=

π

4

，再由 cosC=

2 5

5

知sinC=

5

5

，利用兩角和的正弦公式求出sinA=
sin（B+C）=sinBcosC+coaBsinC 的值．
（2）由正弦定理求得BC=6，△ADC中，設(shè)DC=x，則由余弦定理并化簡求得AD的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出AD的范圍．

解答：解：（1）由sinB+cosB=

2

可得

2

sin（B+

π

4

）=

2

，即 sin（B+

π

4

）=1，
可得B=

π

4

，再由 cosC=

2 5

5

知 sinC=

5

5

．
易得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+coaBsinC=

3 10

10

．
（2）由正弦定理求得

2 5

sinB

= 

BC

sinA

，即 

2 5

2 2

=

BC

3 10 10

，∴BC=6．
△ADC中，設(shè)DC=x，則由余弦定理并化簡有AD=

x2-8x+20

=

(x-4)2+4

，
又x∈[0，6]，所以AD∈[2，2

5

]．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．