Question

已知fn(x)=(1+

x

)n，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²項的系數；
（2）若p_n是f_n（x）展開式中所有無理項的系數和，數列{a_n}是各項都大于1的數組成的數列，試用數學歸納法證明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

Answer 1

（1）g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x）=(1+

x

)4+2(1+

x

)5+3(1+

x

)6，
∴g（x）中含x²項的系數為

C

44

+2

C

45

+3

C

46

=1+10+45=56．（3分）
（2）證明：由題意，p_n=2^n-1．（5分）
①當n=1時，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假設當n=k時，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
當n=k+1時，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
綜合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）對任意n∈N^*成立．（10分）