Question

（本小題滿分16分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；
（2）任取，且，恒有，求的取值范圍；
（3）討論方程的解的個數(shù)，并說明理由。

Answer 1

（1）
，解得，切點為代入直線方程解得…………………………4分
（2）不妨假設(shè)，則，所以   （*）
令
則（*）等價于函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)
即等價于，不等式恒成立
解得：…………………………………………………………………………………………………9分
（3）令（

①當(dāng)時，在上，，函數(shù)在上為增函數(shù)且當(dāng)時，，當(dāng)時，
由此的圖象與軸有且僅有一個公共點，即方程有且僅有一個實根。
②當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，并且一個正根一個負根，不妨設(shè)正根為
則當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)有最小值
（ⅰ）當(dāng)時，有且只有一個實數(shù)根，即方程有且僅有一個實根。
此時有，變形得（**）
構(gòu)造函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，方程（**）等價于
解得，代入原方程組，解得
（ⅱ）當(dāng)時，，

所以方程無實數(shù)根，即方程沒有實數(shù)根
（ⅰⅱ）當(dāng)時，類似可以求得
所以方程有兩個實數(shù)根，即方程有兩個實數(shù)根
綜上，當(dāng)或時，方程有且僅有一個實根
當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根
當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根………………………………………………16分

略