Question

（1）已知：等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁，公差d，證明數(shù)列前n項(xiàng)和；
（2）已知：等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁，公比q，則證明數(shù)列前n項(xiàng)和．

Answer 1

（1）證明：∵s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，
s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，
相加可得 2s_n=n（a₁+a_n），∴s_n=．
再把 a_n=a₁+（n-1）d 代入可得 ．
（2）證明：當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)都等于a₁，∴s_n=na₁．
當(dāng)公比q≠1時(shí)，∵s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，
qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，
錯(cuò)位相減可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，
∴s_n==，
故．
分析：（1）由于 s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，且 s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，兩式相加即可證得結(jié)論．
（2）當(dāng)公比q=1時(shí)，等比數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)都等于a₁，可得s_n=na₁．當(dāng)公比q≠1時(shí)，由于s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，錯(cuò)位相減可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，從而證得結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用倒序相加法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，用錯(cuò)位相減法等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．