Question

(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值點；
（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；
（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個正數(shù)…，使得成立？請證明你的結(jié)論.

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值點
（Ⅱ）.
（Ⅲ）在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數(shù)….

（1）當(dāng)時，求出的導(dǎo)函數(shù)，令，列表研究其單調(diào)性和極值；
（2）只要求出的最大值小于即可，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究單調(diào)性可得到的最大值就是其極大值，解不等式得的取值范圍；
（3）時，，，要研究的單調(diào)性，記，其中.，即在上為增函數(shù).又，所以，對任意的，總有，
.。故不存在。
解：（Ⅰ）當(dāng)時，，
令得到，列表如下：

	＋	０	－
		極大值

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
極大值點
（Ⅱ），，.
令，則.
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故為函數(shù)的唯一極大值點，
所以的最大值為=.
由題意有，解得.
所以的取值范圍為.
（Ⅲ）當(dāng)時，.    記，其中.
∵當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)，
即在上為增函數(shù).又，
所以，對任意的，總有.
所以，
又因為，所以.
故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數(shù)….