Question

對數(shù)列{x_n}，滿足，；對函數(shù)f（x）在（-2，2）上有意義，，且滿足x，y，z∈（-2，2）時，有成立，則f（x_n）的表示式為（ ）
A．-2ⁿ
B．3ⁿ
C．-2×3ⁿ
D．2×3ⁿ

Answer 1

【答案】分析：由，結合已知可得．由x=y=z=0可得f（-x）=-f（x）．再根據(jù)題設條件能夠推出{f（x_n）}是以-6為首項，以3為公比的等比數(shù)列，由此能夠求出f（x_n）的表示式．
解答：解：由，結合已知可得；
由x=y=z=0⇒3f（0）=f（0），
∴f（0）=0，令z=0，得f（x）+f（y）=f（x+y），
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
則f（-x）=-f（x）．
又=，
且==f（x_n）+f（x_n）+f（x_n）=3f（x_n），
于是，即{f（x_n）}是以-6為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
所以f（x_n）=-2×3ⁿ．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性、特殊值法應用及遞推數(shù)列通項公式求法．“函數(shù)f（x）在上（-2，2）有意義，滿足x，y∈（-2，2）時，有成立，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”，這一性質(zhì)來源于課本習題．本題將其與數(shù)列相結合，可謂精工之作．可見，重視課本例、習題很有必要．