Question

對(duì)數(shù)列{x_n}，滿足x1=

4

3

，xn+1=

3xn

1+ x 3 n

；對(duì)函數(shù)f（x）在（-2，2）上有意義，f(-

1

2

)=2，且滿足x，y，z∈（-2，2）時(shí)，有f(x)+f(y)+f(z)=f(

x+y+z

1+xyz

)成立，則f（x_n）的表示式為（　　）

• A、-2ⁿ
• B、3ⁿ
• C、-2×3ⁿ
• D、2×3ⁿ

Answer 1

分析：由x1=

4

3

，結(jié)合已知可得0＜xn+1=

3xn

1+ x 3 n

=

3

1 xn +xn2

≤

3	4

＜2．由x=y=z=0可得f（-x）=-f（x）．再根據(jù)題設(shè)條件能夠推出{f（x_n）}是以-6為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，由此能夠求出f（x_n）的表示式．

解答：解：由x1=

4

3

，結(jié)合已知可得0＜xn+1=

3xn

1+ x 3 n

=

3

1 xn +xn2

≤

3	4

＜2；
由x=y=z=0?3f（0）=f（0），
∴f（0）=0，令z=0，得f（x）+f（y）=f（x+y），
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
則f（-x）=-f（x）．
又f(

4

3

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+f(

1

2

)=3f(

1

2

)=-3f(-

1

2

)=-6，
且f(xn+1)=f(

3xn

1+ x 3 n

)=f(

xn+xn+xn

1+ x 3 n

)=f（x_n）+f（x_n）+f（x_n）=3f（x_n），
于是

f(xn+1)

f(xn)

=3，即{f（x_n）}是以-6為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
所以f（x_n）=-2×3ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、特殊值法應(yīng)用及遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法．“函數(shù)f（x）在上（-2，2）有意義，滿足x，y∈（-2，2）時(shí)，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”，這一性質(zhì)來源于課本習(xí)題．本題將其與數(shù)列相結(jié)合，可謂精工之作．可見，重視課本例、習(xí)題很有必要．