Question

已知負(fù)數(shù)a₁和正數(shù)b₁，且對任意的正整數(shù)n，當(dāng)

an+bn

2

≥0時，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，

an+bn

2

]；當(dāng)

an+bn

2

＜0時，有[a_n+1，b_n+1]=[

an+bn

2

，b_n]．
（1）求證數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求證a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列，只需證明

bn+1- an+1

bn-an

=q(q為常數(shù))由已知

an+bn

2

≥0，可得b_n+1-a_n+1=

an+bn

2

-a_n=

bn-an

2

；

an+bn

2

＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-

an+bn

2

=

bn-an

2

，總有b_n+1-a_n+1=

1

2

（b_n-a_n），從而可得數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法：①由a₁=-1，b₁=2，可得

a1+b1

2

=

1

2

＞0，故有[a2，b2]=[a1，

a1+b1

2

]，則有b2=

a1+b1

2

=

1

2

，a₂=a₁=-1，從而a₂=-2b₂，可得n=1時，a_2n=-2b_2n成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，證明n=k+1時命題成立
（3）假設(shè)存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，結(jié)合（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，由假設(shè)可得a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1由a_n+1=a_n恒成立，可知

an+bn

2

≥0，即a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤

a1-b1

a1

?n≤log2

a1-b1

a1

對任意的正整數(shù)n恒成立，求解此時的n的值是否存在

解答：解：（1）當(dāng)

an+bn

2

≥0時，b_n+1-a_n+1=

an+bn

2

-a_n=

bn-an

2

；
當(dāng)

an+bn

2

＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-

an+bn

2

=

bn-an

2

．
所以，總有b_n+1-a_n+1=

1

2

（b_n-a_n），
又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，
所以數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列．（4分）
（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得

a1+b1

2

=

1

2

＞0，
故有[a2，b2]=[a1，

a1+b1

2

]，
∴b2=

a1+b1

2

=

1

2

，a₂=a₁=-1，從而a₂=-2b₂，
故當(dāng)n=1時，a_2n=-2b_2n成立．（6分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，
由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，

a2k+b2k

2

=

-2b2k+b2k

2

=-

b2k

2

＜0，
故有[a2k+1，b2k+1]=[

a2k+b2k

2

，b2k]，
∴a2k+1=

a2k+b2k

2

=-

b2k

2

，b2k+1=b2k，（9分）

a2k+1+b2k+1

2

=

- b2k 2 +b2k

2

=

b2k

4

＞0，
故有[a2k+2，b2k+2]=[a2k+1，

a2k+1+b2k+1

2

]
∴b2k+2=

a2k+1+b2k+1

2

=

b2k

4

，a2k+2=a2k+1=-

b2k

2

，
故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）
∴當(dāng)n=k+1時，a_2n=-2b_2n成立．
綜合①②可得對一切正整數(shù)n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）
（3）假設(shè)存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，
由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，又a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，（14分）
由a_n+1=a_n恒成立，可知

an+bn

2

≥0，即a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤

a1-b1

a1

對任意的正整數(shù)n恒成立，（16分）
又

a1-b1

a1

是正數(shù)，
故n≤log2

a1-b1

a1

對任意的正整數(shù)n恒成立，
因為log2

a1-b1

a1

是常數(shù)，
故n≤log2

a1-b1

a1

不可能對任意正整數(shù)n恒成立．
故不存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列．（18分）

點評：（1）要證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用定義法只需證明

an

an-1

=q(q為常數(shù))
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題是數(shù)列部分難度較大的試題，需要考試有一定的邏輯推理能力．