Question

已知負(fù)數(shù)a和正數(shù)b，令a₁=a，b₁=b，且對(duì)任意的正整數(shù)k，當(dāng)

ak+bk

2

≥0時(shí)，有a_k+1=a_k，b_k+1=

ak+bk

2

；
當(dāng)

ak+bk

2

＜0，有a_k+1=

ak+bk

2

，b_k+1=b_k．
（1）求b_n-a_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）是否存在a，b，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有b_2n-1＞b_2n，且b_2n=b_2n+1，求b_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)化建立{b_n-a_n}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是等比數(shù)列，從而確定出通項(xiàng)公式；
（2）首先假設(shè)存在合題意的a，b，然后確定出b_n的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，通過(guò)分析其相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系達(dá)到解決該題的目的；
（3）通過(guò)b_n的相應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系得到關(guān)于n的不等關(guān)系，利用加減項(xiàng)的方法確定出b_n的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，注意對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶的討論．

解答：解：（1）當(dāng)

ak+bk

2

≥0時(shí)，b_k+1-a_k+1=

ak+bk

2

-a_k=

bk-ak

2

；
當(dāng)

ak+bk

2

＜0，b_k+1-a_k+1=b_k-

ak+bk

2

=

bk-ak

2

．
所以，總有b_k+1-a_k+1=

1

2

（b_k-a_k），
因此，數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為b-a，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
所以b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1．
（2）假設(shè)存在a，b，對(duì)任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1，即a_n=a_n+1．
所以a_n=a_n-1=…=a₁=a，又b_n-a_n=（b-a）（

1

2

）^n-1，所以b_n=a+（b-a）（

1

2

）^n-1，
又

an+bn

2

≥0，即a+（b-a）（

1

2

）ⁿ≥0，即2ⁿ≤

a-b

a

，
因?yàn)?span id="ofimjcd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a-b

a

是常數(shù)，故2ⁿ≤

a-b

a

不可能對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．
故不存在a，b，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有b_n＞b_n+1．
（3）由b _2n-1＞b_2n，可知a _2n-1=a_2n，b_2n=

a2n-1+b2n-1

2

，
所以b_2n=

a2n+b2n-1

2

，即b_2n-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
又b_2n=b _2n+1，故b _2n+1-b _2n-1=-（b_2n-a_2n）=-（b-a）（

1

2

）^2n-1．
∴b _2n-1=（b _2n-1-b _2n-3）+（b _2n-3-b _2n-5）+…+（b₃-b₁）+b₁
=（a-b）[（

1

2

）^2n-3+（

1

2

）^2n-5+…+（

1

2

）¹]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^n-1]+b．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n=2m-1，可得b_n=b _2m-1=

2

3

（a-b）[1-（

1

4

）^m-1]+b=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）^n-1]+b，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得b_n=b _n+1=

2

3

（a-b）[1-（

1

2

）ⁿ]+b，
故b_n=

2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n-1]+b(n為奇數(shù)) 2 3 (a-b)[1-( 1 2 )n]+b(n為偶數(shù))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，考查學(xué)生探究性問(wèn)題的解決方法，注意體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí)．