Question

（2013•廣州一模）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求T_n；
（3）求滿足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)…(1-

1

Tn

)＞

1010

2013

的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）將條件中的和關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)關(guān)系，判斷數(shù)列的特征，再求解；
（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)n和公式求解即可；
（3）利用約分消項(xiàng)化簡(jiǎn)左式，判斷n滿足的條件，分析求解即可．

解答：解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）．∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，∴a₂=4a₁．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
∴an=2•4n-1=22n-1．
（2）由（1）得：log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（3）(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)•…•(1-

1

Tn

)=(1-

1

22

)(1-

1

32

)•…•(1-

1

n2

)
=

22-1

22

•

32-1

32

•

42-1

42

•…•

n2-1

n2

=

1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)

22•32•42•…•n2

=

n+1

2n

．
令

n+1

2n

＞

1010

2013

，解得：n＜287

4

7

．
故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為287．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的項(xiàng)與和之間的關(guān)系及數(shù)列的綜合問題．