Question

（2013•廣州一模）已知經(jīng)過同一點(diǎn)的n（n∈N^*，n≥3）個(gè)平面，任意三個(gè)平面不經(jīng)過同一條直線．若這n個(gè)平面將空間分成f（n）個(gè)部分，則f（3）=

8

，f（n）=

n²-n+2

．

Answer 1

分析：兩個(gè)平面把空間分成4個(gè)部分，增加一平面，與前兩個(gè)平面不過同一直線，則第三個(gè)平面與前兩個(gè)平面有兩條交線，兩條交線把第三個(gè)平面分成兩個(gè)部分，每一部分將其所在的空間一分為二，則三個(gè)平面把空間分成8個(gè)部分，即f（3）=8=3²-3+2；類比此結(jié)論可得過同一點(diǎn)且不經(jīng)過同一直線的n個(gè)平面把空間分成n²-n+2個(gè)部分．

解答：解：因?yàn)閮蓚�(gè)相交平面把空間分成四個(gè)部分，若第三個(gè)平面和前兩相交平面經(jīng)過同一點(diǎn)，且三個(gè)平面不過同一直線，則第三個(gè)平面與前兩個(gè)平面的交線相交，這樣能把空間分成8個(gè)部分，即f（3）=8=3²-3+2；
有n個(gè)面時(shí)，再添加1個(gè)面，與其它的n個(gè)面有n條交線，n條交線將此平面分成2n個(gè)部分，
每一部分將其所在空間一分為二，
則 f（n+1）=f（n）+2n．
利用疊加法，
則 f（n）-f（1）=[2+4+6+…+2（n-1）]
=

[2+2(n-1)](n-1)

2

=n2-n
∴f（n）=n²-n+2．
故答案為8，n²-n+2．

點(diǎn)評：本題考查了類比推理，類比推理是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，此題是基礎(chǔ)題．