【題目】已知數(shù)列
的前
項和為
，且對任意正整數(shù)
，都有
成立．記
．
（Ⅰ）求數(shù)列
和
的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)
，數(shù)列
的前
項和為
，求證： 
．
【答案】（Ⅰ）
,
（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：（I）由
成立，可得
時， 
，可得出數(shù)列
為等比數(shù)列,從而可得數(shù)列
的通項公式，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得
；(II)利用（I）的結(jié)論，可得
，根據(jù)裂項求和求出數(shù)列
的前
項和為
,再利用放縮法即可證明結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）在
中，令
得
.
因為對任意正整數(shù)
，都有
成立， 
時， 
，
兩式作差得， 
，所以
，
又
，所以數(shù)列
是以
為首項，4為公比的等比數(shù)列，即
，
∴
（Ⅱ）∵
，
∴
.
∴
.
∴對任意
， 
．
又
，所以， 
為關(guān)于
的增函數(shù)，所以
，
綜上， 
【方法點晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的定義，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1) 
；（2） 
； （3）
；（4）
；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】關(guān)于函數(shù)圖象的對稱性與周期性，有下列說法：①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3＋x)，則f(x)的一個周期為T＝2；②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；③函數(shù)y＝f(x＋1)與函數(shù)y＝f(3－x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；④若函數(shù)
與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則
，其中正確的個數(shù)是()
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝
，cos∠EDC＝
.將△CDE沿CE折起，使點D移動到P的位置，且AP＝
，得到四棱錐P－ABCE.
(1)求證：AP⊥平面ABCE；
(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|，a∈R.
(Ⅰ)當a＝4時，求不等式f(x)≥7的解集；
(Ⅱ)若f(x)≥5對x∈R恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐PABC中，不能證明AP⊥BC的條件是( )
A. AP⊥PB，AP⊥PC
B. AP⊥PB，BC⊥PB
C. 平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D. AP⊥平面PBC
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點．
(Ⅰ)求證：PC∥平面EBD；
(Ⅱ)求證：平面PBC⊥平面PCD.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)向量
， 
，記
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)試用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間
上的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到；
(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋m， 
的最小值為2，試求出函數(shù)g(x)的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
.
(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程；
(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的最小正周期和值域．
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