Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（3，2），∠C的平分線CD所在直線方程為y-1=0，AC邊上的高BH所在直線方程為4x+2y-9=0．
（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由高BH所在直線方程為4x+2y-9=0，可得k_BH．由于直線AC⊥BH，可得k_AC•k_BH=-1．即可得到k_AC，進(jìn)而得到直線AC的方程，與CD方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求出直線BC的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)B到直線AC的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AC|，利用三角形的面積計(jì)算公式可得S△ABC=

1

2

|BH| |AC|．

解答：解：（1）由高BH所在直線方程為4x+2y-9=0，∴kBH=-

4

2

=-2．
∵直線AC⊥BH，∴k_AC•k_BH=-1．
∴kAC=

1

2

，
直線AC的方程為y=

1

2

x+

1

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 x+ 1 2 y-1=0

⇒

x=1 y=1.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)C（1，1）．
（2）kBC=-kAC=-

1

2

，
∴直線BC的方程為y=-

1

2

x+

3

2

，
聯(lián)立

4x+2y-9=0 y=- 1 2 x+ 3 2

⇒

x=2 y= 1 2

，即B(2，

1

2

)．
點(diǎn)B到直線AC：x-2y+1=0的距離為d=

2

5

．
又|AC|=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

，
∴S△ABC=

1

2

|AC|d=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．