Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）把代入到中求出，令求出的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令求出的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；

（2）時不可能恒成立，所以要使函數(shù)在上無零點，只需要對時恒成立，列出不等式解出大于一個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函

數(shù)的增減性得到這個函數(shù)的最大值即可得到的取值范圍；

解：（1）當時，，定義域為，則，

令，得，令，得，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）∵函數(shù)在區(qū)間上無零點，

∴在區(qū)間上，恒成立或恒成立，

，

，

①當時，，

在區(qū)間上，，

記，

則，

在區(qū)間上，，

∴在區(qū)間上，單調(diào)遞減，∴，

即，∴，

即在區(qū)間上恒成立，滿足題意；

②當時，，，

，

∵，，∴，

∴在上有零點，即函數(shù)在區(qū)間上有零點，不符合題意.

綜上所述，.