Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

．
（1）求銳角B的大小；
（2）設(shè)b=

3

，且B為鈍角，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0．法一：

3

cos2B+sin2B=0，所以2sin(2B+

π

3

) =0，由此能求出∠B．法二：sin2B=-

3

cos2B．所以tan2B=-

3

．由此能求出∠B．
（2）由B為鈍角，知B=

5π

6

，b=

3

，由余弦定理得：cosB=

a2+b2+c2

2ac

=-

3

2

，由此能求出ac的最大值．

解答：解：（1）由

m

∥

n

，
得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0（2分）
解法一：即

3

cos2B+sin2B=0∴2sin(2B+

π

3

)=0（5分）
∵B∈(0，

π

2

)，
∴2B+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，
∴2B+

π

3

=π，
即銳角B=

π

3

．（7分）
解法二：即sin2B=-

3

cos2B．
即tan2B=-

3

．（5分）
又∵B為銳角，
∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，
∴B=

π

3

．（7分）
（2）∵B為鈍角，由（Ⅰ）知：B=

5π

6

，b=

3

，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+b2+c2

2ac

=-

3

2

得：-

3

ac=a2+c2-3≥2ac-3，
∴ac≤6-3

3

，
∴ac的最大值為：6-3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的恒等式和余弦定理的靈活運(yùn)用．