Question

【題目】若定義在上的函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，滿足，則稱比更接近.當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）比更接近，理由見解析.

【解析】

（1）對求導(dǎo)，分和進(jìn)行討論，研究的正負(fù)情況，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，

利用導(dǎo)數(shù)研究出和在的單調(diào)性和正負(fù)情況，分和進(jìn)行討論，得到和的大小關(guān)系，從而得到答案.

（1）函數(shù)，

求導(dǎo)得到，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得到，

所以時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）設(shè)，

所以，所以在時(shí)單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.

而，設(shè)，則，

所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

而，所以時(shí)，，

所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，

所以.

①當(dāng)時(shí)，

設(shè)，則

所以在單調(diào)遞減，.

又因?yàn)?/span>，所以，

所以

所以比更接近.

②當(dāng)時(shí)，， ，

設(shè)，則，

設(shè)，，

所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，

所以

所以在上單調(diào)遞減，

所以，即，

所以比更接近.

綜上所述，當(dāng)且時(shí)，比更接近.