Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，

AD

=

1

5

AB

+

4

5

AC

．
（1）求

| CD |

| DB |

的值；
（2）設(shè)cosC=

5

5

，且實(shí)數(shù)t滿足|

CB

-t

CA

|≥|

AB

+

AC

|，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

AD

=

1

5

AB

+

4

5

AC

，利用向量的線性運(yùn)算，即可求

| CD |

| DB |

的值；
（2）先求得∠BAC=

π

2

，根據(jù)|

CB

-t

CA

|≥|

AB

+

AC

|，兩邊平方，化簡(jiǎn)即可求t的取值范圍．

解答：解：（1）

CD

=

AD

-

AC

=

1

5

AB

+

4

5

AC

-

AC

=

1

5

AB

-

1

5

AC

=

1

5

CB

，∴

| CD |

| DB |

=

1

4

．
（2）根據(jù)題意：由cosC=

5

5

，令AC=5a，BC=5

5

a，AB=10a，AD=2

5

a，可得∠BAC=

π

2

，
∵|

CB

-t

CA

|≥|

AB

+

AC

|，兩邊平方得，

CB

2+t2

CA

2-2

CB

•

CA

•t≥

AB

2+

AC

2+2

AB

•

AC

，
∴125a²+25a²t²-2t•25a²≥100a²+25a²，∴t²-2t≥0，
∴t≥2或t≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量模的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．