Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，，為棱上一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面.

(2) ，試確定的值使得二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）先由題意得到，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，求出，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角公式，以及二面角的大小，即可求出結(jié)果.

(1)如圖，取的中點(diǎn)，連接，.

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，.

又，，

∴，，∴四邊形是平行四邊形.∴.

又平面，平面，∴平面.

(2)由平面，，可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.

設(shè)，則，.

∵，∴∴.

又易證平面，

∴是平面的一個法向量.

設(shè)平面的法向量為，

則即，解得

令，則.

∵二面角的大小為，

∴|，

解得：.

∵點(diǎn)在棱上，∴，∴