Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）+m（m∈R），將y=f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位后得到g（x）的圖象，且y=g（x）在區(qū)間[]內(nèi)的最小值為 ．

（1）求m的值；

（2）在銳角△ABC中，若g（ ）=，求sinA+cosB的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，利用平移規(guī)律得出的解析式，根據(jù)最小值列方程求出；
（2）根據(jù)條件求出，用表示出，化簡(jiǎn) 得出關(guān)于函數(shù)，根據(jù)的范圍得出正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍．

（1）f（x）=sinxcosx-cos2x+m=sin2x-cos2x+m-=sin（2x-）+m-，

∴g（x）=sin[2（x+）-]+m-=sin（2x+）+m-，

∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，

∴當(dāng)2x+=時(shí)，g（x）取得最小值+m-=m，

∴m=．

（2）∵g（）=sin（C+）+-=-+，

∴sin（C+）=，

∵C∈（0，），∴C+∈（，），

∴C+=，即C=．

∴sinA+cosB=sinA+cos（-A）

=sinA-cosA+sinA

=sinA-cosA

=sin（A-）．

∵△ABC是銳角三角形，∴，

解得，

∴A-∈（，），

∴＜sin（A-）＜，

∴＜sin（A-）＜,

∴sinA+cosB的取值范圍是（，）．