Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)、在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．若，．

（）求向量，夾角的正切值．

（）問(wèn)點(diǎn)在什么位置時(shí)，向量，夾角最大？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】分析：（）設(shè)向量與軸的正半軸所成的角分別為， 則向量所成的夾角為，由兩角差的正切公式可得向量夾角的正切值為；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的結(jié)果.

詳解：（1）由題意知，A的坐標(biāo)為A（0，6），B的坐標(biāo)為B（0，4），C（x，0），x＞0

設(shè)向量，與x軸的正半軸所成的角分別為α，β，

則向量，所成的夾角為|β﹣α|=|α﹣β|，

由三角函數(shù)的定義知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，

得向量，的夾角的正切值等于tan（α﹣β）==，

故所求向量，夾角的正切值為tan（α﹣β）=；

（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，

所以tan（α﹣β）的最大值為時(shí)，夾角|α﹣β|的值也最大，

當(dāng)x=時(shí)，取得最大值成立，解得x=2，

故點(diǎn)C在x的正半軸，距離原點(diǎn)為2，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（2，0）時(shí)，向量，夾角最大．