Question

設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件：
①當(dāng)時(shí), 的最小值為0，且恒成立；
②當(dāng)時(shí)，恒成立．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的解析式；
（Ⅲ）求最大的實(shí)數(shù)m（m>1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)時(shí)，就有成立

Answer 1

(1) f(1)="2" ；(2) f(x)= (x+1)²； (3) m的最大值為9.

試題分析：(1)在②中令x=1,有2≤f(1)≤2,故f(1)="2"
(2)由①知二次函數(shù)的關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,且開口向上
故設(shè)此二次函數(shù)為f(x)=a(x+1)²,(a>0),∵f(1)=2,∴a=
∴f(x)= (x+1)²
(3)假設(shè)存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.
f(x+t)≤2x(x+t+1)²≤2xx²+(2t-2)x+t²+2t+1≤0.
令g(x)=x²+(2t-2)x+t²+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9
t=-4時(shí),對(duì)任意的x∈[1,9]
恒有g(shù)(x)≤0, ∴m的最大值為9.（畫圖用數(shù)形結(jié)合視解答情況給分）
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題綜合考查“二次問題”，運(yùn)用了從特殊到一般的思想方法。（3）作為存在性問題，轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次不等式在給定閉區(qū)間恒成立問題，借助于函數(shù)單調(diào)性，通過限制區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的范圍，得到不等式組，使問題得解。