Question

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱與底面垂直，,, M、N分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且,

（1）證明：無(wú)論取何值，總有.

（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量與向量.通過(guò)計(jì)算向量與向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論.

（2）當(dāng)時(shí)，要求平面與平面所成銳二面角的余弦值，因?yàn)檫@兩個(gè)平面的交線沒(méi)畫(huà)出來(lái)，所以用這兩個(gè)平面的法向量的夾角的大小來(lái)表示. 平面的法向量較易表示，平面的法向量要通過(guò)待定系數(shù)法求得.由于求銳二面角，所以求法向量的夾角的余弦值取正的即可.

試題解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1（0，0，2），B1（2，0，2）， M（0，2，1），N（1,1，0），

，

（1）∵，∴.

∴無(wú)論取何值， . 5分

（2）時(shí)，, .

而面 ，設(shè)平面的法向量為，

則 ,

設(shè)為平面與平面ABC所成銳二面角，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是 12分

考點(diǎn)：1.空間坐標(biāo)系的建立.2.向量證明線線垂直.3.通過(guò)法向量求二面角的大小.