Question

已知等差數列{a_n}滿足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又數列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．
（I） 求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）若a_i=b_j，則稱a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共項．
①求出數列{a_n}，{b_n}的前4個公共項；
②從數列{a_n}的前100項中將數列{a_n}與{b_n}的公共項去掉后，求剩下所有項的和．

Answer 1

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，根據a₃=5，且a₅-2a₂=3，求出基本量，從而可得數列{a_n}的通項公式；利用等比數列的通項公式可得{b_n}的通項公式；
（II）①利用數列{a_n}，{b_n}的通項公式，可得前4個公共項；
②確定數列{a_n}的前100項中包含4個公共項，利用等差數列的求和公式，可得結論．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，則
∵a₃=5，且a₅-2a₂=3
∴a₁+2d=5，-a₁+2d=3
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
∵3b_n-b_n+1=0，
∴

bn+1

bn

=3，
∴數列{b_n}是以b₁=3為首項，公比為3的等比數列．
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ；
（II）①數列{a_n}，{b_n}的前4個公共項為3，9，27，81；
②∵a₁₀₀=199，81＜a₁₀₀＜243
∴數列{a_n}的前100項中包含4個公共項
∵S100=

100(1+199)

2

=10000
∴數列{a_n}的前100項中將數列{a_n}與{b_n}的公共項去掉后，剩下所有項的和為10000-3-9-27-81=9980．

點評：本小題主要考查數列通項，考查化歸、轉化、方程的數學思想方法，以及運算求解能力，屬于中檔題．