Question

已知

a

=(sin

x

3

，cos

x

3

)，

b

=(cos

x

3

，

3

cos

x

3

)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）的形式，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2

3

x+

π

3

的范圍，利用 f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）+

3

2

，求出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

令sin（

2x

3

+

π

3

）=0⇒

2x

3

+

π

3

=kπ，解得：x=

3kπ

2

-

π

2

（k∈Z），

而y=f（x）的圖象可由y=sin（

2x

3

+

π

3

）向上平移

3

2

個單位得到，
故所求對稱中心的坐標為（

3kπ

2

-

π

2

，

3

2

）（k∈Z）

（2）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

，
即cosx≥

1

2

，而x∈（0，π），所以x∈（0，

π

3

]，
∴

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]，sin（

2x

3

+

π

3

）∈[sin

5π

9

，1]，
所以f（x）的值域為[sin

5π

9

+

3

2

，1+

3

2

]
綜上所述，x∈（0，

π

3

]，f（x）的值域為[sin

5π

9

+

3

2

，1+

3

2

]

點評：本題以向量為載體，考查向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)的化簡，同時考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，解題時，應掌握整體思維的策略．