Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等邊三角形，E，F分別是BC，CC1的中點．求證： （Ⅰ） EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ） 平面AEF⊥平面BCC1B1 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為E，F分別是BC，CC1的中點， 所以EF∥BC1 ．
又因為BC1平面A1BC1 ， EF平面A1BC1 ，
所以EF∥平面A1BC1 ． （6分）
（Ⅱ）因為三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC．又AE平面ABC，
所以AE⊥BB1 ．
又因為△ABC為正三角形，E為BC的中點，
所以AE⊥BC．
又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1 ．
又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1 ．

【解析】（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥BC1 ， 由此能證明EF∥平面A1BC1 ． （Ⅱ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1 ， 由正三角形性質得AE⊥BC，由此能證明平面AEF⊥平面BCC1B1 ．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．