Question

（本題滿分16分）

已知數(shù)列為各項均為正的等比數(shù)列，其公比為q．

（1）當q＝時，在數(shù)列中：

     ①最多有幾項在1～100之間？

     ②最多有幾項是1～100之間的整數(shù)？

（2）當q＞1時，在數(shù)列中，最多有幾項是100～1000之間的整數(shù)？

（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

（本題滿分16分）

解：（1）①不妨設≥1，設數(shù)列有n項在1和100之間，則

        ≤100．所以，≤100．

兩邊同取對數(shù)，得 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n≤12.37．

故n的最大值為12，即數(shù)列中，最多有12項在1和100之間．……………5分

②不妨設1≤…≤100，其中，， ，…， 均為整數(shù)，所以為2的倍數(shù)．所以3≤100，所以n≤5．………8分

又因為16，24，36，54，81是滿足題設要求的5項．

所以，當q＝時，最多有5項是1和100之間的整數(shù)．…………………………10分

（2）設等比數(shù)列滿足100≤aaq…≤1000，

其中a，aq，…，均為整數(shù)，，顯然，q必為有理數(shù)．…………11分

設q=，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，

        因為 =為整數(shù)，所以a是的倍數(shù)．………………………………12分

        令t=s+1，于是數(shù)列滿足 100≤a＜a·＜…＜a·≤100．

如果s≥3，則1000≥a·≥（q+1）n－1≥4n－1，所以n≤5．

如果s=1，則1000≥a·≥100·，所以，n≤4．

如果s=2，則1000≥a·≥100·，所以n≤6．……………………………13分

另一方面，數(shù)列128，192，288，432，648，972滿足題設條件的6個數(shù)，

所以，當q＞1時，最多有6項是100到1000之間的整數(shù)．………………………16分