Question

（2009•淄博一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

（a∈R）
（1）討論f（x）在[1，e]上的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，然后解導(dǎo)數(shù)不等式，利用導(dǎo)數(shù)符號和單調(diào)性的關(guān)系進行判斷．
（2）把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值恒成立去解決．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

a+x

x2

．
①當(dāng)a≥-1，因為1≤x≤e，所以x+a≥0，此時f'（x）≥0，所以f（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
②當(dāng)a≤-e時，因為1≤x≤e，所以x+a≥0，此時f'（x）≤0，此時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
③當(dāng)-e＜a＜-1時，令f'（x）=0得x=-a．于是當(dāng)1≤x≤-a時，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)．
當(dāng)-a≤x≤e時，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在[-a，e]上為增函數(shù)．
綜上可知，當(dāng)a≥-1時，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)．當(dāng)a≤-e時，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)．
當(dāng)-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上為減函數(shù)，在[-a，e]上為增函數(shù)．
（Ⅱ）由f（x）＜x，得lnx-

a

x

＜x，因為x≥1，所以a＞xln?x-x²
令g（x）=xln?x-x²，要使a＞xln?x-x² 在[1，+∞）上恒成立，只需a＞g_max?（x）即可．
g'（x）=lnx-2x+1=lnx-（2x-1），分別作出函數(shù)y=lnx和y=2x-1的圖象如圖．由圖象可知當(dāng)x≥1時，lnx＜2x-1．
此時g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，所以g（x）的最大值為g（1）=-1，所以a＞-1，即a的取值范圍是（-1，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立．