Question

【題目】四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 ，SB=SC= ．

（1）設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB；
（2）求證：SA⊥BC；
（3）求直線SD與面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵底面ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，∵AB平面SCD，CD平面SCD，

∴AB∥平面SCD，又AB平面SAB，平面SCD∩平面SAB=l，

∴l(xiāng)∥AB．

（2）證明：取BC中點(diǎn)O，連接OS，OA．

∵OB= BC= ，AB=2，∠ABC=45°，

∴OA= = ．

∴OA2+OB2=AB2，∴OA⊥BC．

∵SB=SC，O是BC的中點(diǎn)，∴OS⊥BC，

又SO平面SOA，OA平面SOA，SO∩OA=O，

∴BC⊥平面SOA，∵SA平面SOA，

∴BC⊥SA．

（3）解：∵SB=SC，O是BC中點(diǎn)，∴SO⊥BC．

∵側(cè)面SBC⊥面ABCD，側(cè)面SBC∩面ABCD=BC，

∴SO⊥平面ABCD．

以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示，

則A（ ，0，0），B（0， ，0），S（0，0，1），D（ ，﹣2 ，0），

∴ =（ ，﹣2 ，﹣1）， =（ ，0，﹣1）， =（ ，﹣ ，0）．

設(shè)平面SAB法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ．令x=1，則y=1，z= ，∴ =（1，1， ）．

∴cos＜ ， ＞= = = ．

∴直線SD與面SAB所成角的正弦值為 ．

【解析】
【考點(diǎn)精析】掌握棱錐的結(jié)構(gòu)特征和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．