Question

（2012•石家莊一模）四棱錐的正視圖和俯視圖如圖，其中俯視圖是直角梯形．
（I ）若正視圖是等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點，當點M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由；
（II）若平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I ）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明

BF

•

CM

=0，可得BF丄CM．
（II）求出平面ADE的法向量、平面ABC的法向量，利用平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，可得a=

3

求出平面ABE的法向量，計算cos＜

AD

，

p

＞  =

6

4

，即可得到直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

解答：解：（I ）若正視圖是等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點，當點M在棱AD上移動時，總有BF丄CM．
取BC中點O，連接AO，由俯視圖可知，AO⊥面BCDE，取DE中點H，連接OH，OH⊥BC
以OC、OH、OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，設A（0，0，

3

），B（-1，0，0），C（1，0，0）
∴F（

1

2

，0，

3

2

）
設M（x，2x，

3

（1-x）），
∴

BF

=(

3

2

，0，

3

2

)，

CM

=(x-1，2x，

3

(1-x)
∴

BF

•

CM

=0，
∴BF丄CM．
（II）D（1，2，0），設A（0，0，a）（a＞0），∴

ED

=(2，1，0)，

AD

=(1，2，-a)
設平面ADE的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，∴

m

•

ED

=0，

m

•

AD

=0
∴

2x1+y1=0 x1+2y1-az1=0

，∴可取

m

=(1 ，-2，-

3

a

)
∵平面ABC的法向量為

n

=(0，1，0)
∴cos＜

m

，

n

＞  =

-2

5+ 9 a2

∵平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，
∴

-2

5+ 9 a2

=

2

2

，解得a=

3

設平面ABE的法向量為

p

=(x2，y2，z2)，
∵

BA

=(1，0，

3

)，

BE

=(0，1，0)
∴

p

•

BA

=0，

p

•

BE

=0
∴

x2+ 3 y2=0 y2=0

，
∴可取

p

=(

3

，0，-1 )
∴cos＜

AD

，

p

＞  =

6

4

∴直線AD與平面ABE所成角的正弦值為

6

4

．

點評：本題考查三視圖與直觀圖的轉換，考查線線垂直，考查直線與平面的所成角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．